Title: maths TSI - 1 / Ensembles, probabilités / variables aléatoires
Tags: probabilités

Q: Définition de la loi de probabilités de la variable aléatoire X.
A: [latex]C'est l'application\quad
$P_X : \begin{array}[t]{ccl}X(\Omega)&\rightarrow&[0,1]\\x&\mapsto&P(X=x)\end{array}$.\\
Autrement dit, elle est d\'efinie par deux donn\'ees :\begin{itemize}
\item les valeurs prises par $X$ : $X(\Omega)=\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$ ;
\item la probabilit\'e de chacune de ces valeurs : les $P(X=x_k)$ pour $k\in[\![1,n]\!]$.\end{itemize}[/latex]

Q: Défintion de la fonction de répartition de la variable aléatoire X.
A: [latex] $F_X : \begin{array}[t]{ccc}
\mathbb{R}&\to&[0,1]\\
x&\mapsto&P(X\leqslant x)
\end{array}$[/latex]

Q: Esérance de la variable aléatoire finie X.
A: [latex]On note $X(\Omega)=\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$.\\
L'esp\'erance de $X$ est not\'ee $E(X)$ et est d\'efinie par $E(X)=\displaystyle\sum_{\omega\in\Omega}X(\omega)P(\{\omega\})$.\\[-0.2cm]
Concr\`etement :
$\begin{array}[t]{r@{=}l}E(X)&\displaystyle\sum_{k=1}
^nx_kP(X=x_k)\\[0.2cm]
&x_1P(X=x_1)+x_2P(X=x_2)+\ldots+x_nP(X=x_n)\end{array}$.[/latex]

Q: [latex]Théorème de transfert pour $X$ une variable al\'eatoire sur un espace probabilis\'e $(\Omega,P)$, et
$X(\Omega)=\{x_1;x_2;\ldots;x_n\}$.[/latex]
A: [latex]
Soit $\varphi$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.\\
Alors $E(\varphi(X))=\displaystyle\sum_{k=0}^n\varphi(x_k)P(X=x_k)$.[/latex]

Q: Définition de la variance de la variable aléatoire X.
A: [latex]$V(X)=E\big((X-E(X))^2\big)$.
Autrement dit :\\
$V(X)=\displaystyle\sum_{k=1}^n(x_k-E(X))^2P(X=x_k)$[/latex]

Q: Formule de König-Huygens.
A: [latex]$V (X)=E(X^2)-\left(E(X)\right)^2$[/latex]