Title: maths TSI - 1 / Fonctions / limites
Tags: limites

Q: [latex]définition de  $\lim_{x\to a}f(x)=\ell$ avec $f$ définie sur $I$[/latex]
A: [$]\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, x\in I\cap ]a-\delta,a+\delta[\, \Rightarrow \vert f(x)-\ell \vert \leqslant \varepsilon[/$]

Q: [latex]définition de  $\lim_{x\to a}f(x)=-\infty$ avec $f$ définie sur $I$[/latex]
A: [$]\forall r\in\mathbb{R}, \exists \delta>0, x\in I\cap ]a-\delta,a+\delta[\, \Rightarrow  f(x)\leqslant r[/$]

Q: [latex]définition de  $\lim_{x\to +\infty}f(x)=\ell$ avec $f$ définie sur $I$[/latex]
A: [$]\forall \varepsilon>0, \exists A\in\mathbb{R},\; x\in I\cap[A,+\infty[ \Rightarrow \vert f(x)-\ell \vert \leqslant \varepsilon[/$]

Q: [latex]définition de  $\lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty$ avec $f$ définie sur $I$[/latex]
A: [$]\forall \varepsilon>0, \exists A\in\mathbb{R}, \; x\in I\cap]-\infty,A] \Rightarrow f(x)\geqslant r[/$]

Q: formes indéterminées :
A: [latex]"$0\times \infty$" et "$\infty-\infty$" et "$\frac{\infty}{\infty}$" et "$\frac{0}{0}$"[/latex]

Q: [latex]$f$ continue en $a$ équivaut à[/latex]
A: [$]\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)[/$]

Q: Théorème d'encadrement.
A: [latex]$f$ $g$ et $h$ trois fonctions définies sur un même intervalle $I$, avec au voisinage de $a$ : $f(x)\leqslant g(x)\leqslant h(x)$.\\ On suppose que $\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=\ell$, alors $\lim_{x\to a}g(x)=\ell$.[/latex]

Q: [latex]Théorème de la limite monotone dans le cas d'une fonction $f$ croissante sur $]a,b[$.[/latex]
A: [latex]Si $f$ minorée, alors $\lim_{x\to a}f(x)$ est finie, sinon $\lim_{x\to a}f(x)=-\infty$.\\
Si $f$ majorée, alors $\lim_{x\to a}f(x)$ est finie, sinon $\lim_{x\to a}f(x)=+\infty$.[/latex]

Q: Définition de la négligeabilité.
A: [latex]si $g$ ne s'annule pas au voisinage de $a$ : $f$ est négligeable devant $g$ au voisinage de $a$ lorsque $\lim{x\to a}f\frac{f(x)}{g(x)}=0$[/latex]

Q: Définition de l'équivalence de deux fonctions.
A: [latex]Si $g$ ne s'annule pas au voisinage de $a$ :\\ $f$ est équivalente à $g$ au voisinage de $a$ lorsque $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=1$.[/latex]

Q: Équivalents des fonctions usuelles en 0.
A: [latex]$\sin(x)\underset{x\to0}{\sim}x\qquad1-\cos(x)\underset{x\to0}{\sim}\frac{x^2}2\qquad\tan(x)\underset{x\to0}{\sim}x\\\ln(1+x)\underset{x\to0}{\sim}x\qquad e^x-1\underset{x\to0}{\sim}x$[/latex]

Q: Croissances comparées en [$]+\infty[/$].
A: [latex]$\alpha$ et $\beta$ réels $>0$, $a>1$.\\
$(\ln(x))^{\alpha}\underset{x\to+\infty}{=}o(x^{\beta})$ ; $(\ln(x))^{\alpha}\underset{x\to+\infty}{=}o(a^{x})$\\ et $x^{\beta}\underset{x\to+\infty}{=}o(a^{x})$ [/latex]

Q: Croissances comparées en 0.
A: [latex]$\alpha$ et $\beta$ réels $>0$ : $(\ln(x))^{\alpha}\underset{x\to0}{=}o(\frac1{x^{\beta}})$\\ autrement dit $\lim_{x\to0}x^{\beta}(\ln(x))^{\alpha}=0$[/latex]

Q: Croissances comparées en [$]-\infty[/$].
A: [latex]$\beta>0$ et $a>1$ : $a^x\underset{x\to-\infty}{=}o(\frac1{x^{\beta}})$\\ autrement dit $\lim_{x\to-\infty}x^{\beta}a^x=0$[/latex]

Q: Produit et quotient d'équivalents.
A: [latex]$\left\{\begin{array}{l}f_1\underset{a}{\sim}g_1\\f_2\underset{a}{\sim}
g_2\end{array}\right.\;\Longrightarrow\; f_1\times f_2\underset{a}{\sim} g_1\times g_2$\;\, et \;\, $\frac{f_1}{f_2}\underset{a}{\sim}\frac{g_1}{g_2}$[/latex]

Q: Puissances d'équivalents.
A: [latex]$f\underset{a}{\sim}g \Longrightarrow f^{\alpha}\underset{a}{\sim} g^{\alpha}$[/latex]

Q: Somme avec le même équivalent .
A: [latex]$\left\{\begin{array}{l}f_1\underset{a}{\sim}\alpha g\\
f_2\underset{a}{\sim}\beta g\\\alpha+\beta\neq0
\end{array}\right.\;\Longrightarrow\;f_1+f_2\underset{a}{\sim}(\alpha+\beta)g$[/latex]

Q: Changement de variable.
A: [latex]$\left\{\begin{array}{l}\lim_{x\to x_0}y(x)=a\\f\underset{a}{\sim}g\end{array}
\right. \;\Longrightarrow\;f(y(x))\underset{x\to x_0}{\sim}g(y(x))$[/latex]

Q: Négligeabilité et équivalence.
A: [latex]$\left\{\begin{array}{l}f_1\underset{a}{\sim}u\\f_2\underset{a}{\sim}
v\\u(x)\underset{x\to a}{=}o(v(x))\end{array}\right. \Longrightarrow f_1(x)\underset{x\to a}{=}o(f_2(x))$[/latex]