Title: maths TSI - 1 / Fonctions / intégration
Tags: fonctions intégration

Q: Définition de l'intégrale d'une fonction continue à valeurs positives.
A: [latex]Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $a$ et $b$ dans $I$ (avec $a<b$).\\
 $f$ est une fonction continue sur $I$, à
valeurs positives sur $[a,b]$, alors l'int\'egrale de $f$ sur $[a,b]$ est not\'ee
$\int_{[a,b]}f$ et repr\'esente l'aire de la surface situ\'ee entre la courbe, l'axe
des abscisses, et les droites d'\'equations $x=a$ et $x=b$. (mesur\'ee en unit\'es d'aires).[/latex]

Q: Positivité de l'intégrale.
A: [latex]Si $f$ est à
valeurs positives sur $[a,b]$, alors $\int_{[a,b]}{}f \geqslant 0$.[/latex]

Q: Croissance de l'intégrale.
A: [latex]Si pour tout $x$ de $[a,b]$,
$f(x)\leqslant g(x)$,
alors
$\int_{[a,b]}{}f\leqslant\int_{[a,b]}{}g$[/latex]

Q: Théorème de nullité.
A: [latex]Si $f$ est à valeurs positives sur
$[a,b]$, alors : $\int_{[a,b]}{} f=0 \Longleftrightarrow f=0$ sur $[a,b]$.[/latex]

Q: Relation de Chasles.
A: [latex]$\int_a^b f+\int_b^c f=\int_a^c f$[/latex]

Q: Linéarité de l'intégrale.
A: [latex]$\forall \lambda \in\mathbb{R}$ :
$\int_a^b (f+\lambda g)=\int_a^b f
+\lambda\!\!\int_a^b g$[/latex]

Q: [latex]$f$ une fonction continue de $I$ dans
$\mathbb{C}$, définition de $\int_a^bf$.[/latex]
A: [latex]$\int_a^bf=\int_a^b \text{Re}(f)+i\int_a^b\text{Im}(f)$[/latex]

Q: Définition de la somme de Riemann de f sur [a,b].
A: [latex]$\displaystyle S_n(f)=\frac{b-a}n\sum_{k=0}^{n-1}f\left(a+k\frac{b-a}n\right)\text{ avec }n\in\mathbb{N}^*$[/latex]

Q: Convergence de la somme de Riemann.
A: [latex]Si $f$ est une fonction continue sur $[a,b]$, alors
$\lim_{n\to+\infty}S_n(f)=\int_{[a,b]}{}f$.[/latex]

Q: Existence de primitives.
A: [latex]Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet une primitive sur $I$, et même une
infinité.\\
Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors toutes les fonctions $x\mapsto F(x)+C$ sont des primitives de $f$ sur $I$, et toutes les primitives s'écrivent ainsi.[/latex]

Q: [latex]Fonction $x\mapsto \int_{x_0}^xf(t)dt$.[/latex]
A: [latex]Si $x_0\in I$ et $f$ continue sur $I$ alors $x\mapsto \int_{x_0}^xf(t)dt$ est dérivable sur $I$ : c'est l'unique
primitive de $f$ qui s'annule en $x_0$.[/latex]

Q: Formule de l'intégration par parties.
A: [latex]$\int_{a}^{b}u'(x)v(x)dx=\big[u(x)v(x)\big]_a^b-\int_{a}^{b}u(x)v'(x)dx$[/latex]

Q: Formule du changement de variable et condition.
A: [latex]$\varphi$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a,b]$ et $f$ continue sur $\varphi([a,b])$\\$\int_a^b
f(\varphi(t))\varphi'(t)dt=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(x)dx$[/latex]

Q: Formule de Taylor avec reste intégral.
A: [latex]Soit $f\in\mathcal{C}^{n+1}(I,\mathbb{R})$, soient $a$ et $x$ dans $I$ et $n\in\mathbb{N}$ :\\
$\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{(x-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)+\int_a^x\frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)dt$[/latex]