Title: maths TSI - 1 / Géométrie / dans l'espace
Tags: géométrie colle20

Q: Définition du projeté orthogonal d'un point M sur une droite D.
A: Si M est sur la droite, le projeté est M.
Sinon, le projeté est le point H de D tel que [$]\underline{\overrightarrow{MH}}[/$] soit normal à D.

Q: Formule de distance d'un point M à une droite.
A: D passe par A et dirigée par [$]\overrightarrow{v}[/$] : [$]d(M,D)=\frac{\Vert \overrightarrow{AM} \wedge \overrightarrow{v}\Vert}{\Vert \overrightarrow{v}\Vert}[/$]

Q: Distance d'un point M à un plan P.
A: * P a pour équation cartésienne [$]ax+by+cz+d=0[/$] : [$]d(M,P)=\frac{\vert ax_M+by_M+cz_M+d\vert}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}[/$]
* P passe par A et est dirigé par [$]\overrightarrow{u}[/$] et [$]\overrightarrow{v}[/$] : [$]d(M,P)=\frac{\vert [\overrightarrow{AM},\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}]\vert}{\Vert \overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}\Vert}[/$]

Q: Pour obtenir une équation cartésienne du plan P passant par A dirigé par [$]\vec u[/$] et [$]\vec v[/$] :
A: [$]M\in P \Longleftrightarrow [\overrightarrow{AM},\vec u,\vec v]=0[/$]

Q: Pour obtenir une équation cartésienne du plan P passant par A  et de vecteur normal [$]\vec n[/$]  :
A: [$]M\in P \Longleftrightarrow \overrightarrow{AM}.\vec n=0[/$]

Q: Pour obtenir un système d'équations paramétriques de la droite D passant par A dirigée par [$]\vec u[/$] :
A: [$]M\in D \Longleftrightarrow \exists t\in\mathbb{R}, \overrightarrow{AM}=t\vec u.[/$]

Q: Définition du projeté orthogonal d'un point M sur un plan P.
A: Si M est dans le plan, le projeté est M.
Sinon, le projeté est le point H de P tel que [$]\underline{\overrightarrow{MH}}[/$] soit normal à P.