Title: maths TSI - 1 / Algèbre / espaces vectoriels dimension finie
Tags: dimension_finie ev

Q: Définition d'un espace de dimension finie.
A: Un espace vectoriel E est de dimension finie si il existe dans E une famille génératrice finie. (sinon il est de dimension infine)

Q: Théorème de la base extraite
A: E un espace vectoriel de dimension finie, non réduit au vecteur nul.
De toute famille génératrice de E, on peut extraire une sous-famille qui sera une base de E.
En particulier, tout espace vectoriel de dimension finie admet une base.

Q: Théorème de la base incomplète.
A: Soit E un espace vectoriel de dimension finie.
Toute famille libre de E peut être complétée pour former une base.

Q: [latex]Dimension et base canonique de $\mathbb{K}^n$.[/latex]
A: [latex]$\mathbb{K}^n$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n$.\\
La base canonique est form\'ee des vecteurs $(1,0,\ldots,0),\; (0,1,0\ldots,0),\; \ldots\; , (0,0,\ldots,1)$.[/latex]

Q: [latex]Dimension et base canonique de $\mathbb{K}_n[X]$.[/latex]
A: [latex]Le $\mathbb{K}$-espace vectoriel $\mathbb{K}_n[X]$ est de dimension $n+1$.\\
La base canonique est $(1,X,X^2,\ldots,X^{n})$.[/latex]

Q: [latex]Dimension et base canonique de $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$.[/latex]
A: [latex]$\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ est un $\mathcal{K}$-espace vectoriel de dimension $n\times p$.\\
La base canonique est $(E_{i,j})_{(i,j)\in[\![1,n]\!]\times[\![1,n]\!]}$ avec $E_{i,j}$ la matrice nulle partout sauf le coefficient de la ligne $i$ et la colonne $j$ qui vaut 1.[/latex]

Q: E est un espace vectoriel de dimension n.
Une famille de m vecteurs avec [$]m>n[/$] est ...
A: liée.

Q: E est un espace vectoriel de dimension n.
Une famille de p vecteurs avec [$]p<n[/$] ...
A: ne peut pas être génératrice de E.

Q: E est un espace vectoriel de dimension n.
Conditions nécessaires et suffisantes pour une famille pour être une base :
A: * être libre et génératrice
* être libre et formée de n vecteurs
* être génératrice et formée de n vecteurs

Q: Définition du rang d'une famille de vecteurs.
A: [latex]On appelle rang d'une famille de vecteurs la dimension du sous-espace vectoriel engendr\'e
par cette famille.\\
Concrètement, si $\mathcal{F}=(u_1,u_2,\ldots,u_p)$, alors
rg$(\mathcal{F})=$dim$($Vect$(u_1,u_2,\ldots,u_p))$.[/latex]