Title: maths TSI - 1 / Algèbre / espaces vectoriels
Tags: algèbre ev

Q: Soit [$]\mathcal{F}=({u_1},{u_2},\ldots,{u_p})[/$] une famille de vecteurs d'un [$]\mathbb{K}[/$]-espace vectoriel [$]E[/$], qu'appelle-t-on combinaison linéaire de [$]\mathcal{F}[/$] ?
A: Une combinaison linéaire de [$]\mathcal{F}[/$] est un vecteur de la forme [$]\lambda_1{u_1}+\lambda_2{u_2}+\ldots+\lambda_p{u_p}[/$] avec [$](\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_p)\in\mathbb{K}^p[/$].

Q: Définition d'un sous-espace vectoriel de E.
A: F, une partie de E est un sous-espace vectoriel si elle vérifie :
1. F n'est pas vide
2. F est stable par combinaison linéaire
 (le 2. signifie : [$]\forall (u,v)\in E^2, \forall (\lambda,\mu)\in\mathbb{K}^2, \lambda u+\mu v\in F[/$])

Q: F est une partie d'un espace vectoriel E, comment montrer que F est un sous-espace vectoriel de E ?
A: 1. on montre que F contient le neutre de E
2. "Soient u et v deux vecteurs de F, et [$]\lambda[/$] un scalaire, on montre que [$]u+\lambda v[/$] est dans F."

Q: [latex]$\mathcal{F}=(\vec{u_1},\vec{u_2},\ldots,\vec{u_p})$ une famille de vecteurs d'un espace vectoriel $E$.\\Vect$(\vec{u_1},\vec{u_2},\ldots,\vec{u_p})$ : nom et définition (\textit{phrase et symbolique}).[/latex]
A: [latex]C'est le sous-espace vectoriel de $E$ engendré par la famille $\mathcal{F}$.\\
C'est l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de la famille.\\
 Vect$(\vec{u_1},\vec{u_2},\ldots,\vec{u_p})=\left\{\lambda_1\vec{u_1}+\lambda_2\vec{u_2}+\ldots+\lambda_p\vec{u_p} \vert (\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_p)\in\mathbb{K}^p\right\}$ [/latex]

Q: [latex]Soit $\mathcal{F}=(\vec{u_1},\vec{u_2},\ldots,\vec{u_p})$ une famille de vecteurs de $E$, $\mathcal{F}$ est génératrice de $E$ si et seulement si (\textit{symbolique}) ...[/latex]
A: [$$]\forall \vec{v}\in E, \exists (\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_p)\in\mathbb{K}^p, \vec{v}=\sum_{k=0}^p\lambda_k \vec{u_k}[/$$]

Q: [latex]Soit $\mathcal{F}=(\vec{u_1},\vec{u_2},\ldots,\vec{u_p})$ une famille de vecteurs de $E$, la famille est libre si et seulement si (\textit{symbolique}) ...[/latex]
A: [$$]\text{Si\;}\sum_{k=0}^p\lambda_k \vec{u_k}=\vec{0}\text{\;\; alors\;\; }\forall k\in[\![1,p]\!], \lambda_k=0.[/$$]

Q: Méthode pour montrer que la famille [$](\vec{u_1},\vec{u_2},\ldots,\vec{u_p})[/$] est libre :
A: [latex]Rédaction : \textit{ Soient $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_p$ dans $\mathbb{K}$ tels que $\lambda_1 u_1+\lambda_2u_2+\ldots +\lambda_pu_p=0$.\\
Montrons qu'alors, $\lambda_1=\lambda_2=\ldots=\lambda_p=0$}[/latex]

Q: Méthode pour savoir si une famille de [$]\mathbb{R}^n[/$] est libre ou liée.
A: On peut déterminer le rang de la matrice des vecteurs en colonnes :
si rang=nb de lignes alors la famille est libre
sinon elle est liée.

Q: Méthode pour savoir si une famille de [$]\mathbb{R}^n[/$] est génératrice ou pas.
A: On peut déterminer le rang de la matrice des vecteurs en colonnes :
rang=nb de colonnes si et seulement si la famille est génératrice.

Q: Méthode pour montrer qu'une famille  [$](\vec{u_1},\vec{u_2},\ldots,\vec{u_p})[/$] est liée :
A: [latex]Trouver explicitement des scalaires $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_p$ dans $\mathbb{K}$, dont au moins n'est pas nul, et tels que \mbox{$\lambda_1 u_1+\lambda_2u_2+\ldots +\lambda_pu_p=0_E$}.\\
Rédaction : \textit{On pose $\lambda_1=\ldots, \lambda_2=\ldots , \ldots, \lambda_p=\ldots$ : ils ne sont pas tous nuls et $\lambda_1 u_1+\lambda_2u_2+\ldots +\lambda_pu_p=0_E$.}\\
[/latex]

Q: Méthode pour montrer qu'une famille [$](\vec{u_1},\vec{u_2},\ldots,\vec{u_p})[/$] est génératrice d'un espace vectoriel [$]E[/$].
A: [latex]Rédaction : \textit{Soit $v$ dans $E$, montrons qu'il existe $\lambda_1$, $\lambda_2,$ \ldots $\lambda_p$ tels que $v=\lambda_1u_1+\lambda_2u_2+\ldots+\lambda_pu_p$.}[/latex]

Q: Méthode pour montrer qu'une famille [$](\vec{u_1},\vec{u_2},\ldots,\vec{u_p})[/$] n'est pas génératrice de [$]E[/$].
A: [latex]On trouve un vecteur $v$ qui ne s'\'ecrit pas comme combinaison lin\'eaire de $u_1, u_2,\ldots, u_p$ :\\
Rédaction : \textit{on pose $v=\ldots$, montrons qu'il n'existe pas de $\lambda_1$, $\lambda_2,$ \ldots $\lambda_p$ tels que $v=\lambda_1u_1+\lambda_2u_2+\ldots+\lambda_pu_p$.}\\
(on peut mettre cette égalité sous forme d'un système et montrer qu'il n'a pas de solution)[/latex]

Q: Définition d'une base d'un espace vectoriel [$]E[/$].
A: C'est une famille qui est libre et génératrice de [$]E[/$].

Q: [latex]La famille $(e_k)_{k\in[\![1;n]\!]}$ est
une base de $E$ se traduit par (\textit{phrase})[/latex]
A: [latex] Tout vecteur $v$ de $E$ s'\'ecrit de fa\c{c}on unique comme combinaison lin\'eaire des
vecteurs de la base.[/latex]

Q: [latex]La famille $(e_k)_{k\in[\![1;n]\!]}$ est
une base de $E$ si et seulement si (\textit{symbolique}) ...[/latex]
A: [latex]
$$\forall v \in E, \; \exists!
 (\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n)\in\mathbb{K}^n,\;v=\sum_{k=1}^n\lambda_ke_k.$$[/latex]

Q: [latex]Soit $\mathcal{F}=(\vec{u_1},\vec{u_2},\ldots,\vec{u_p})$ une famille de vecteurs de $E$, la famille est libre si et seulement si (\textit{phrase}) ...[/latex]
A: La \underline{seule} combinaison linéaire égale au vecteur nulle est celle dont tous les scalaires sont nuls.

Q: [latex]La famille $\mathcal{F}=(\vec{u_1},\vec{u_2},\ldots,\vec{u_p})$ est génératrice de E signifie (\textit{phrase})[/latex]
A: Tout vecteur de [$]E[/$] s'écrit comme combinaison linéaire des vecteurs de la famille [$]\mathcal{F}[/$].