Title: maths TSI - 1 / Fonctions / dérivabilité
Tags: Dérivées limites

Q: [latex]Définition de la dérivabilité de $f$ en $a$, et du nombre dérivé en $a$.[/latex]
A: [latex]Une fonction $f$ est dérivable en un nombre $a$ de $\mathcal{D}_f$ si et seulement si
$\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ existe et est finie.\\
Dans ce cas, la limite est notée $f'(a)$, c'est le nombre d\'eriv\'e de $f$ en $a$.[/latex]

Q: Équation de la tangente à la courbe de [$]f[/$] en a.
A: [$]y=f'(a)(x-a)+f(a)[/$]

Q: Développement limité à l'ordre 1.
A: [$]f(x)\underset{x\to a}{=}f(a)+(x-a)f'(a)+o(x-a)[/$]

Q: Limites issues de taux d'accroissements.
A: [latex]$$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}x=1$$ et $$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}x=1$$ et $$\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1$$[/latex]

Q: Théorème de Rolle.
A: [latex]Soit $f$ une fonction $\left\{\begin{array}{l}\text{continue sur $[a,b]$}\\ \text{d\'erivable sur
$]a,b[$}\\\text{telle que $f(a)=f(b)$}\end{array}\right.$,\quad alors il existe $c$ dans $]a,b[$ tel que $f'(c)=0$.[/latex]

Q: Théorème des accroissements finis.
A: [latex]Soit $f$ une fonction $\left\{\begin{array}{l}\text{continue sur $[a,b]$}\\ \text{d\'erivable sur
$]a,b[$}\end{array}\right.$,  alors il existe $c$ dans $]a,b[$ tel
que $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$.[/latex]

Q: Inégalité des accroissements finis (version encadrement).
A: [latex]Soit $f$ une fonction $\left\{\begin{array}{l}\text{continue sur $[a,b]$}\\ \text{d\'erivable
sur
$]a,b[$}\\\text{telle que $\forall x\in ]a,b[, m\leqslant f'(x)\leqslant M$}\end{array}\right.$
alors \mbox{$m(b-a)\leqslant f(b)-f(a)\leqslant
M(b-a)$}.[/latex]

Q: Inégalité des accroissements finis (version valeur absolue).
A: [latex]Soit $f$ une fonction $\left\{\begin{array}{l}\text{continue sur $[a,b]$}\\ \text{d\'erivable
sur
$]a,b[$}\\\text{telle que $\forall x\in ]a,b[,\vert f'(x)\vert\leqslant k$}\end{array}\right.$
alors \mbox{$\forall
(x_1,x_2)\in[a,b]^2,\,\vert f(x_1)-f(x_2)\vert\leqslant k\vert x_1-x_2\vert$.}[/latex]

Q: Théorème de la limite de la dérivée.
A: [latex]Soit $f$ une fonction $\left\{\begin{array}{l}
\text{continue sur un intervalle $I$}\\\text{d\'erivable sur
$I\backslash\{a\}$}\\
\text{telle que $\lim_{x\to a}f'(x)=\ell $}
\end{array}\right.$\;\, alors
$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\ell$$.\\
En particulier si $\ell$ est un nombre fini, alors $f$ est d\'erivable en $a$ et $f'(a)=\ell$.[/latex]

Q: Définition de la dérivée [$]k[/$]ième et de la classe [$]\mathcal{C}^k[/$].
A: [latex]Soit $n\in\mathbb{N}$, on appelle d\'eriv\'ee $n$-i\`eme de $f$ la fonction not\'ee $f^{(n)}$
et d\'efinie par r\'ecurrence :\\ \rule{3cm}{0cm}$\left\{\begin{array}{l}
f^{(0)}=f\\
\forall k\leqslant n,\;f^{(k+1)}=\left(f^{(k)}\right)'
\end{array}\right.$\\
Si $f$ est $k$ fois d\'erivable sur $I$ que sa d\'eriv\'ee
$k$-i\`eme est continue sur $I$, on dit que $f$ est de classe $\mathcal{C}^k$ sur $I$.[/latex]

Q: Théorème de réciproque d'une fonction de classe [$]\mathcal{C}^k[/$].
A: [latex]Si $f$ est $\left\{\begin{array}{l}
\text{de classe $\mathcal{C}^k$ sur $I$ ($k\in\mathbb{N}^*$ ou $\infty$)}\\
\text{une bijection de $I$ sur $J$}\\
\text{telle que $\forall x\in I, f'(x)\neq0$}
\end{array}\right.$ alors $f^{-1}$ est de classe $\mathcal{C}^k$ sur $J$.[/latex]