Title: maths TSI - 1 / Algèbre / intersection et sommes de ss espaces vectoriels
Tags: algèbre ev

Q: [latex]$F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel $E$.\\
Définition de $F+G$.[/latex]
A: [latex]On note $F+G$ l'ensemble des vecteurs de la forme $u+v$ avec $u\in F$ et $v\in G$.\\[0.2cm]
Ainsi, $F+G=\{u+v\,\vert\,\;u\in F\text{\,et\,}v\in G\}$.[/latex]

Q: Propriétés de la somme de deux sous-espaces vectoriels.
A: [latex]$\bullet$ $F+G$ est un sous-espace vectoriel de $E$.\\
$\bullet$ $F+G$ est le plus petit sous-espace de $E$ qui contient $F\cup G$.[/latex]

Q: [latex]$F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel $E$.\\
Définition de la somme directe de $F$ et $G$.[/latex]
A: [latex]La somme $F+G$ est dite directe lorsque la d\'ecomposition $x=u+v$ avec $u\in F$ et
$v\in
G$ est unique. On note alors $F\oplus G$.[/latex]

Q: Caractérisation d'une somme directe.
A: [latex]$F$ et $G$ sont en somme directe si et seulement si $F\cap G=\{\mathbf{0}\}$.[/latex]

Q: Formule de Grassmann.
A: [latex]$F$ et $G$ sont deux
sous-espaces vectoriels
de $E$ de dimensions finies.\\
Alors $F+G$ est de dimension finie et :\\dim$(F+G)=$dim$(F)+$dim$(G)-$dim$(F\cap G)$.\\
En particulier, $\dim(F\oplus G)=\dim(F)+\dim(G)$.[/latex]

Q: Méthode pour montrer que F et G sont en somme directe.
A: [latex]On prend un vecteur dans $F\cap G$, et on montre que c'est nécessairement le vecteur nul.[/latex]

Q: Propriété sur base et somme directe.
A: [latex]\begin{itemize} \item Si $F$ et $G$ sont en somme directe, avec
$(f_1,f_2,\ldots,f_p)$ une base de $F$, et $(g_1,g_2,\ldots,g_q)$ une base de $G$, alors la
famille $(f_1,f_2,\ldots,f_p,g_1,g_2,\ldots,g_q)$ est une base de $F\oplus G$.
\item Si $(e_1,e_2, \ldots,e_k,e_{k+1},\ldots,e_n)$ est une famille libre, alors Vect$(e_1,e_2,
\ldots,e_k)$ et Vect$(e_{k+1},\ldots,e_n)$ sont en somme directe :\\ Vect$(e_1,e_2,
\ldots,e_k)\,\oplus\,$Vect$(e_{k+1},\ldots,e_n)=$Vect$(e_1,e_2,
\ldots,e_n)$.
\end{itemize}[/latex]

Q: Définition d'un supplémentaire.
A: [latex]$E$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel, $F$ et $G$ des sous-espaces vectoriels.\\
Lorsque la somme $F+G$ est directe et que $F\oplus G=E$, on dit que $F$ et $G$ sont
supplémentaires.[/latex]

Q: Méthode générale pour montrer que deux sous-espaces vectoriels F et G sont supplémentaires dans E.
A: [latex]\begin{enumerate} \item montrer $F\cap G=\{\mathbf{0}\}$ : on prend un élément de l'intersection et on montre
qu'il est nécessairement nul ;
\item montrer $E=F+G$ : on prend un élément de $E$ et on cherche à l'exprimer comme
une somme d'un élément de $F$ et un élément de $G$.\end{enumerate}[/latex]

Q: Caractérisation d'un supplémentaire en dimension finie.
A: [latex]Si $E$ est de dimension finie, les trois propositions suivantes sont \'equivalentes.
\begin{enumerate}
\item $E=F\oplus G$
\item $E=F+G$ et dim$(E)=$dim$(F)+$dim$(G)$
\item $F\cap G=\{\mathbf{0}\}$ et dim$(E)=$dim$(F)+$dim$(G)$
\end{enumerate}[/latex]

Q: Existence d'un supplémentaire en dimension finie.
A: [latex]$E$ est un espace vectoriel de dimension finie.\\
Tout sous-espace vectoriel $F$ a un supplémentaire $G$ dans $E$ qui vérifie alors
dim$(G)=$dim$(E)-$dim$(F)$.[/latex]

Q: Méthode pour montrer que deux espaces vectoriels sont supplémentaires en dimension finie.
A: [latex]\begin{enumerate} \item montrer que leur intersection est réduite au vecteur nul ;
\item montrer que la somme de leurs dimensions est la dimension de l'espace.
\end{enumerate}[/latex]