Title: maths TSI - 1 / Fonctions / continuité
Tags: continuité

Q: [$]f[/$] définie sur [$]I[/$], et [$]a[/$] un nombre qui appartient à [$]I[/$].
[$]f[/$] continue en [$]a[/$] signifie ...
A: [latex]$f$ admet une limite finie en $a$, c'est-à-dire $\lim_{x\to a^- }f(x)=\lim_{x\to a^-}f(x)=f(a)$.[/latex]

Q: [$]f[/$] est continue sur un intervalle [$]I[/$] signifie ...
A: [$]f[/$] est continue en tout point de [$]I[/$].

Q: [$]f[/$] définie sur [$]I[/$] et [$]a[/$] un bord de [$]I[/$] qui n'est pas dans [$]I[/$].
Prolongement par continuité de [$]f[/$] en [$]a[/$].
A: [latex]On dit que $f$ est prolongeable par continuit\'e en $a$ si $f$ admet une limite finie en
$a$.\\
On appelle alors prolongement par continuit\'e de $f$ en $a$ la fonction suivante :\\
\rule{1cm}{0cm}$g : \begin{array}[t]{rcl}
I\cup\{a\}&\rightarrow&\mathbb{R}\\
x&\mapsto&\left\{\begin{array}{l}
f(x)\text{\;si
$x\in I$}\\
\lim_{x\to a}f(x)\text{\;si $x=a$}\end{array}\right.
\end{array}$
[/latex]

Q: Limite de l'image d'une suite par une fonction continue.
A: [latex]Soit $f$ une fonction d\'efinie sur $I$ \`a valeurs dans $\mathbb{R}$, continue au point $x_0$ de $I$.\\
Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite d'\'el\'ements de $I$ convergeant vers $x_0$.\\
Alors $f(u_n)$ converge vers $f(x_0)$.[/latex]

Q: Théorème des valeurs intermédiaires.
A: [latex]Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$.\\
Alors pour tout $y$ entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe $x$ dans $[a,b]$ tel que $f(x)=y$.[/latex]

Q: Théorème de la bijection.
A: [latex]Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$.\\
Alors en notant $J=f(I)$ : $f$ r\'ealise une bijection de $I$ sur $J$.\\
$f$ a une r\'eciproque d\'efinie sur $J$, continue, et de m\^eme sens de variation que $f$.\\
On précise que $f(I)$ est l'intervalle formé par les images des bornes de I (ou limites en ces points si l'intervalle est ouvert).[/latex]