Title: maths TSI - 1 / Algèbre / polynômes
Tags: polynomes

Q: Opérations et degré.
A: [latex]deg$(\lambda
P)=$deg$(P)$ si $\lambda\neq0$ (et $-\infty$ si $\lambda=0$) \\
deg$(P+Q)\leqslant$max$\{$deg$(P)+$deg$(Q)\}$\quad et\quad
deg$(PQ)$=deg$(P)+$deg$(Q)$\\
deg$(P\circ Q)=$deg$(P)\times$deg$(Q)$[/latex]

Q: Définition d'un multiple.
A: [latex]Soient $A$ et $B$ dans $\mathbb{K}[X]$.\\
On dit que $A$ est un multiple de $B$ (ou $B$ divise $A$) si il existe un polyn\^ome $Q$
dans $\mathbb{K}[X]$ tel que $A=BQ$.\\
On peut noter $B\vert A$.[/latex]

Q: Division euclidienne.
A: [latex]Soient $A$ et $B$ dans $\mathbb{K}[X]$, avec $B$ non nul.\\
Alors il existe un unique couple de polyn\^omes $(Q,R)$ avec deg$(R)<$deg$(B)$ tel $A=BQ+R$.\\
$Q$ est le quotient et $R$ le reste dans la division euclidienne de $A$ par $B$.[/latex]

Q: Définition de la multiplicité d'une racine.
A: [latex]Soient $P\in\mathbb{K}[X]$ et $\alpha$ une racine de $P$.\\
On appelle multiplicit\'e de la racine $\alpha$ l'unique entier $r$ tel que $(X-\alpha)^r$
divise
$P$ et $(X-\alpha)^{r+1}$ ne divise pas $P$.[/latex]

Q: Caractérisation d'une racine de multiplicité [$]\alpha[/$].
A: [latex]$\alpha$ est une racine de $P$ de multiplicit\'e $r$ si et seulement si il existe $Q\in \mathbb{K}[X]$ tel que $P=(X-\alpha)^rQ$ et $Q(\alpha)\neq0$.[/latex]

Q: Les polynômes irréductibles dans [$]\mathbb{R}[X][/$] sont ...
A: les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 avec un discriminant strictement négatif.

Q: Les polynômes irréductibles dans [$]\mathbb{C}[X][/$] sont ...
A: les polynômes de degré 1.

Q: Décomposition de P en produit de facteurs irréductibles dans  [$]\mathbb{C}[X][/$].
A: [latex]$$P=\lambda\prod_{k=1}^n(X-\alpha_k)^{r_k}$$ o\`u les $\alpha_k$ sont les racines distinctes de $P$ et
$r_k$
leurs multiplicit\'es respectives.[/latex]

Q: Décomposition de P en produit de facteurs irréductibles dans  [$]\mathbb{R}[X][/$].
A: [latex]$$P=\lambda\prod_{k=0}^n(X-\alpha_k)^{r_k}\prod_{k=0}^m(X^2+p_kX+q_k)^{r'_k}$$\;\;\;
avec $\lambda$ un r\'eel, $n$ et $m$ dans $\mathbb{N}$ et $\alpha_k, p_k$ et $q_k$ dans $\mathbb{R}$ et $p_k^2-4q_k<0$[/latex]

Q: Relation coefficients racines dans un polynôme de degré 2.
A: [latex]Avec $P=aX^2+bX+c$ :\\
la somme des deux racines est $-\frac{b}a$ et le produit est $\frac{c}a$[/latex]

Q: Formule de Leinbiz.
A: [latex]$$(PQ)^{(n)}=\sum_{k=0}^n\dbinom n k P^{(k)}Q^{(n-k)}$$[/latex]

Q: Formule de Taylor en 0.
A: [latex]$$P=\sum_{k=0}^n\frac{P^{(k)}(0)}{k!}X^k$$[/latex]

Q: Formule de Taylor en a.
A: [latex]$$P=\sum_{k=0}^n\frac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a)^k$$[/latex]

Q: Caractérisation d'une racine de multiplicité  [$]\alpha[/$] avec les dérivées.
A: [latex]$\alpha$ est racine de $P$ de multiplicit\'e $r$ si et seulement si $\forall k\leqslant r-1,
P^{(k)}(\alpha)=0$ et $P^{(r )}(\alpha)\neq0$[/latex]