Title: maths TSI - 1 / Algèbre / espaces vectoriels
Tags: algèbre ev

Q: Soit [$]\mathcal{F}=({u_1},{u_2},\ldots,{u_p})[/$] une famille de vecteurs d'un [$]\mathbb{K}[/$]-espace vectoriel [$]E[/$], qu'appelle-t-on combinaison linéaire de [$]\mathcal{F}[/$] ?
A: Une combinaison linéaire de [$]\mathcal{F}[/$] est un vecteur de la forme [$]\lambda_1{u_1}+\lambda_2{u_2}+\ldots+\lambda_p{u_p}[/$] avec [$](\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_p)\in\mathbb{K}^p[/$].

Q: Définition d'un sous-espace vectoriel de E.
A: F, une partie de E est un sous-espace vectoriel si elle vérifie :
1. F n'est pas vide
2. F est stable par combinaison linéaire
 (le 2. signifie : [$]\forall (u,v)\in E^2, \forall (\lambda,\mu)\in\mathbb{K}^2, \lambda u+\mu v\in F[/$])

Q: F est une partie d'un espace vectoriel E, comment montrer que F est un sous-espace vectoriel de E ?
A: 1. on montre que F contient le neutre de E
2. "Soient u et v deux vecteurs de F, et [$]\lambda[/$] un scalaire, on montre que [$]u+\lambda v[/$] est dans F."