Title: maths TSI - 1 / Suites / generalites et convergence
Tags: suites colle20 calculs

Q: 3 possibilités pour étudier les variations d'une suite
A: 1. étudier le signe de la différence [$]u_{n+1}-u_n[/$]
2. si tous les termes sont strictement positifs, comparer [$]\frac{u_{n+1}}{u_n}[/$] à 1
3. récurrence : pour montrer qu'elle est croissante, [$]P(n) : u_n<u_{n+1}[/$]
pour montrer qu'elle est décroissante, [$]P(n) : u_n>u_{n+1}[/$]

Q: définition de [$]\lim_{n\to +\infty}u_n=\ell[/$] (symbolique)
A: [$]\forall \varepsilon >0, \exists n_0\in\mathbb{N}, \forall n\in\mathbb{N}, (n\geqslant n_0)\Rightarrow \vert u_n-\ell\vert\leqslant \varepsilon[/$]

Q: définition de [$]\lim_{n\to +\infty}u_n=\ell[/$] (phrase)
A: pour tout [$]\varepsilon[/$] strictement positif, il existe un rang à partir duquel tous les termes de la suite sont dans [$] ]\ell-\varepsilon;\ell+\varepsilon[ [/$]

Q: définition de [$]\lim_{n\to +\infty}u_n=-\infty[/$] (symbolique)
A: [$]\forall A\in\mathbb{R}, \exists n_0\in\mathbb{N}, \forall n\in\mathbb{N}, (n\geqslant n_0) \Rightarrow u_n\leqslant A[/$]

Q: définition de [$]\lim_{n\to +\infty}u_n=-\infty[/$] (phrase)
A: pour tout réel A, il existe un rang à partir duquel tous les termes sont plus petits que A.

Q: 4 propriétés des suites convergentes :
A: 1. Toute suite convergente est bornée.
2. Si [$](u_n)[/$] converge vers une limite [$]\ell[/$] strictement positive, alors tous les termes de [$](u_n)[/$] sont strictement positifs à partir d'un certain rang.
3. Si [$]\left\{\begin{array}{l}u \text{ converge vers }\ell\\v \text{ converge vers } \ell'\\
\forall n\in\mathbb{N}, u_n<v_n
\end{array}\right.[/$] alors [$]\ell\leqslant\ell'[/$].
4. Si une suite a une limite, alors toutes les suites extraites ont la même limite.

Q: Limites issues du théorème des croissances comparées pour les suites.
A: [$]q>1[/$] et [$]a>0, b>0[/$]
[$]\lim_{n\to+\infty}\frac{q^n}{(\ln(n))^b}=+\infty[/$]
[$]\lim_{n\to+\infty}\frac{(\ln(n))^b}{q^n}=0[/$]
[$]\lim_{n\to+\infty}\frac{n^a}{(\ln(n))^b}=+\infty[/$]
[$]\lim_{n\to+\infty}\frac{(\ln(n))^b}{n^a}=0[/$]
[$]\lim_{n\to+\infty}\frac{q^n}{n^a}=+\infty[/$]
[$]\lim_{n\to+\infty}\frac{n^a}{q^n}=0[/$]

Q: Limite de [$]q^n[/$]  ?
A: [$]\text{Si } q>1 : q^n\rightarrow+\infty[/$]
[$]\text{Si } q=1 : q^n\rightarrow1[/$]
[$]\text{Si } -1<q<1 : q^n\rightarrow0[/$]
[$]\text{Si } q<-1 : \text{pas de limite}[/$]

Q: Théorème des gendarmes pour les suites (version encadrement).
A: [$]u, v, x[/$] trois suites, on suppose que [$]u[/$] et [$]v[/$] convergent vers [$]\ell[/$], et que à partir d'un certain rang, [$]u_n\leqslant x_n\leqslant v_n[/$].
Alors [$]x[/$] converge vers [$]\ell[/$].

Q: Théorème des gendarmes pour les suites (version valeur absolue).
A: On suppose que [$]u[/$] converge vers 0, et que à partir d'un certain rang, [$]\vert x_n-\ell\vert \leqslant u_n[/$].
Alors [$]x[/$] converge vers [$]\ell[/$].

Q: Théorèmes de convergence monotone.
A: Une suite croissante et majorée converge.
Une suite croissante et non majorée a pour limite [$]+\infty[/$].
Une suite décroissante et minorée converge.
Une suite décroissante et non minorée a pour limite [$]-\infty[/$].

Q: Suites adjacentes : définition.
A: [$]u[/$] et [$]v[/$] sont dites adjacentes si l'une est croissante, l'autre décroissante, et [$]\lim_{n\to+\infty}(u_n-v_n)=0[/$].

Q: Suites adjacentes : propriété.
A: Deux suites adjacentes convergent vers la même limite.

Q: [$]u_n=O(v_n)[/$]  signifie :
A: [$](u_n)[/$] est dominée par la suite [$](v_n)[/$] c'est-à-dire [$]\left(\frac{u_n}{v_n}\right)[/$] est bornée.

Q: [$]u_n=o(v_n)[/$]  signifie :
A: [$](u_n)[/$] est négligeable devant la suite [$](v_n)[/$] c'est-à-dire [$]\lim_{n\to+\infty}\frac{u_n}{v_n}=0[/$].

Q: [$]u_n\sim v_n[/$]  signifie :
A: [$](u_n)[/$] est équivalente à [$](v_n)[/$] c'est-à-dire [$]\lim_{n\to+\infty}\frac{u_n}{v_n}=1[/$].

Q: Principale règle de calcul pour obtenir un équivalent.
A: Si [$]v_n=o(u_n)[/$] alors [$]u_n+v_n\sim u_n[/$].

Q: Équivalents et produit ou quotient :
A: [$]\left\{\begin{array}{l}u_n\sim v_n\\u'_n\sim
v'_n\end{array}\right.\;\Longrightarrow\;u_n\times u'_n\sim v_n\times v'_n\text{ et }\frac{u_n}{u'_n}\sim\frac{v_n}{v'_n}[/$]

Q: Équivalents et puissances :
A: avec [$]\alpha>0[/$] et [$](u_n)[/$] positive : [$]u_n\sim v_n \Longrightarrow u_n^{\alpha}\sim v_n^{\alpha}[/$].

Q: Somme avec le même équivalent.
A: Pour tous [$]\alpha[/$] et [$]\beta[/$] réels tels que
[$]\alpha+\beta\neq0[/$] :
[$]\left\{\begin{array}{l}u_n \sim w_n\\v_n\sim w_n\end{array}\right.\; \Longrightarrow\; \alpha
u_n+\beta v_n\sim(\alpha+\beta)w_n[/$]