Title: maths TSI - 1 / Algèbre / familles de vecteurs de R^n
Tags: algèbre colle17

Q: Soit [$]\mathcal{F}=(\vec{u_1},\vec{u_2},\ldots,\vec{u_p})[/$] une famille de vecteurs de [$]\mathbb{R}^n[/$], qu'appelle-t-on combinaison linéaire de [$]\mathcal{F}[/$] ?
A: Une combinaison linéaire de [$]\mathcal{F}[/$] est un vecteur de la forme [$]\lambda_1\vec{u_1}+\lambda_2\vec{u_2}+\ldots+\lambda_p\vec{u_p}[/$] avec [$]\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_p\in\mathbb{R}^p[/$].

Q: Soit [$]\mathcal{F}=(\vec{u_1},\vec{u_2},\ldots,\vec{u_p})[/$] une famille de vecteurs de [$]\mathbb{R}^n[/$], définir [$]\text{Vect}(\mathcal{F})[/$].
A: [$]\text{Vect}(\mathcal{F})[/$] est l'ensemble des combinaisons linéaires de [$]\mathcal{F}[/$] :
[$$]\text{Vect}(\mathcal{F})=\left\{\sum_{k=1}^p\lambda_k\vec{u_k}\vert\,(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_p)\in\mathbb{R}^p\right\}[/$$]

Q: Soit [$]\mathcal{F}=(\vec{u_1},\vec{u_2},\ldots,\vec{u_p})[/$] une famille de vecteurs de [$]\mathbb{R}^n[/$], la famille est libre si et seulement si ...
A: [$$]\sum_{k=0}^p\lambda_k \vec{u_k}=\vec{0}\text{\;\; alors\;\; }\forall k\in[\![1,p]\!], \lambda_k=0.[/$$]

Q: Définir une famille liée.
A: Une famille est liée lorsqu'il existe une combinaison linéaire égale à [$]\vec{0}[/$] avec au moins un scalaire non nul.

Q: [$]\mathcal{F}=(\vec{u_1},\vec{u_2},\ldots,\vec{u_p})[/$] une famille de vecteurs de [$]\mathbb{R}^n[/$].
[$]\mathcal{F}[/$] est liée si et seulement si ...
A: [$$]\exists (\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_p)\in\mathbb{R}^p\backslash \{(0,0,\ldots,0)\}, \sum_{k=1}^p\lambda_k\vec{u_k}=\vec{0}[/$$]

Q: Soit [$]\mathcal{F}=(\vec{u_1},\vec{u_2},\ldots,\vec{u_p})[/$] une famille de vecteurs de [$]\mathbb{R}^n[/$].
[$]A[/$] est la matrice des vecteurs en colonnes. Caractériser le fait que la famille [$]\mathcal{F}[/$] soit libre.
A: Le système homogène [$]AX=\bold{0}[/$] a pour seule solution [$](0,0,\ldots,0)[/$].
OU
Le rang de [$]A[/$] est [$]p[/$] (autant de pivots que de colonnes).

Q: Définir une famille libre.
A: Une famille est libre lorsque la seule combinaison linéaire égale à [$]\vec{0}[/$] est celle dont tous ses scalaires sont nuls.

Q: Définir une famille génératrice de [$]\mathbb{R}^n[/$].
A: Une famille [$]\mathcal{F}[/$] est génératrice de [$]\mathbb{R}^n[/$] signifie que [$]\text{Vect}(\mathcal{F})=\mathbb{R}^n[/$].

Q: Soit [$]\mathcal{F}=(\vec{u_1},\vec{u_2},\ldots,\vec{u_p})[/$] une famille de vecteurs de [$]\mathbb{R}^n[/$], [$]\mathcal{F}[/$] est génératrice de [$]\mathbb{R}^n[/$] si et seulement si ...
A: [$$]\forall \vec{v}\in\mathbb{R}^n, \exists (\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_p)\in\mathbb{R}^p, \vec{v}=\sum_{k=0}^p\lambda_k \vec{u_k}[/$$]

Q: Soit [$]\mathcal{F}=(\vec{u_1},\vec{u_2},\ldots,\vec{u_p})[/$] une famille de vecteurs de [$]\mathbb{R}^n[/$].
[$]A[/$] est la matrice des vecteurs en colonnes. Caractériser le fait que la famille [$]\mathcal{F}[/$] soit génératrice.
A: Pour tout [$]B[/$] de [$]\mathbb{R}^n[/$], le système [$]AX=B[/$] a au moins une solution.
OU
Le rang de [$]A[/$] est [$]n[/$] (autant de pivots que de lignes).